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    一元二次方程知识点整理

    发布时间:2020-12-16 19:35:04 作者:冬青好 

      一、定义和特点
     
      1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
     
      2、一元二次方程的一般形式:ax的平方+bx+c=0(a≠0),它的特征是:等式左边加一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中ax的平方+叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
     
      二、方程起源
     
      古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约西元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
     
      7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程,它同时容许有正负数的根。
     
      11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
     
      据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):
     
      在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;
     
      在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;
     
      在方程的两边同时开二次方。
     
      三、性质
     
      方程的两根与方程中各数有如下关系:x1+x2= -b/a,x1·x2=c/a(也称韦达定理)
     
      方程两根为x1,x2时,方程为:x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)
     
      b^2-4ac>0有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0有两个相等的实数根,b^2-4ac<0无实数根。
     
      四、一般解法
     
      一元二次方程的一般解法有以下几种:
     
      配方法(可解部分一元二次方程)
     
      公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程,前提:△≥0)
     
      因式分解法(可解部分一元二次方程)
     
      直接开平方法(可解全部一元二次方程)
     
      五、小结及例题
     
      一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
     
      直接开平方法是最基本的方法。
     
      公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
     
      配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
     
      例:用适当的方法解下列方程。(选学)
     
      (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
     
      分析:
     
      (1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
     
      公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
     
      (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
     
      (3)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后利用十字相乘法因式分解。
     
      (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
     
      [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
     
      (5x-5)(-x+13)=0
     
      5x-5=0或-x+13=0
     
      ∴x1=1,x2=13
     
      (2)解: x^2+2x-3=0
     
      [x-(-3)](x-1)=0
     
      x-(-3)=0或x-1=0
     
      ∴x1=-3,x2=1
     
      (3)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
     
      4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
     
      [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
     
      2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
     
      ∴x1=(m+2)/2,x2=(m+3)/2
    更新:20210415 180810     


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