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    阿贝尔证明五次方程式没有根式解

    发布时间:2018-06-10 21:24:55 来源:懒人计算器 作者:波丝猫 

    Abel, Niels Henrik阿贝尔

    Abel(1802~1829),挪威数学家。以证明五次方程式没有根式解名于世, 他所构思的椭圆函数论,是十九世纪最重要的数学主题之一。他与 Galois 的英才早逝,是十九世纪数学界的悲剧。

    由于十九世纪初英法两国的对峙,企图中立的挪威(当时还是丹麦的属地)反而因为被双方的经济封锁, 而导致经济衰败,民不聊生。在贫穷中长大的 Abel,一生体质孱弱。他的父亲是一个坚定的挪威民族主义者, 虽然曾经参与挪威的立法制宪,却不能改进家中的经济情况,反而因为他的早死, 导致十八岁的 Abel 必须撑起家中的重担。

    可能因为就读的学校太差,Abel 起初并没有露出过人的才艺,一直到他十六岁那年,一个数学老师 Holmoboe 改变了他的一生,在这位老师的教导下,一年之间 Abel 已经能够研读重要的数学家的著作, 例如牛顿、Euler、Lagrange、Laplace 与高斯。

    在 Holmoboe 的经济支持下,19岁的 Abel 得以进入 Christiania大学(今挪威 Oslo 大学), 20岁得到初等学位,随后寻求从数学边陲的挪威到当时的数学圣地──德国与法国朝圣的机会。1824年, Abel 证明了五次方程式没有根式解,他自费出版这个结果,并寄给他准备拜访的高斯。

    1825年 Abel 在挪威政府的协助下,与几个友人首途赴德, 在柏林他结识了他的伯乐兼挚友土木工程与业余数学家 Crelle。他当时正筹办《Crelle 杂志》(即《Journal fur die reine und angewandte Mathematik》), 便请 Abel 将他的结果发表在该杂志上,事实上在《Crelle 杂志》的第一册,便发表了 Abel 七篇文章。

    不过除了结识 Crelle 外,Abel 德法之旅实在非常令人沮丧,首先是高斯对代数方程式解的问题并不感兴趣, 连 Abel 的文章都没有打开过。而 Abel 的另一篇讨论椭圆函数的划时代杰作,在巴黎却遭受 Cauchy、Legendre 等大数学家的冷落。

    在饥弱交迫下,1827年25岁的 Abel 失望地回到挪威,在他人生的最后两年, 他曾致力于研究五次方程的可解条件(结果与 Galois 相仿),后来他专心致力于与 Jacobi 竞争, 研究椭圆函数与更广义的 Abel 函数。1829年他因重病过逝,令人遗憾的是, 挚交 Crelle 终于替 Abel 在柏林大学谋得教职的迟来喜讯在三天后才到达。隔一年,他与 Jacobi 获颁法国的 Grand Prix,Legendre 赞美他是「当代最佳的分析学家」,却已经来不及抚慰这个卒年仅27岁天才数学家的心灵。

    虽然 Abel 以证明五次方程没有根式解出名,但他对数学最大的贡献是椭圆函数的研究。所谓椭圆积分,是形如

    的积分,其中 R(x,y) 为有理函数,P(x) 为三次或四次多项式,Legendre 曾经浸x数十年研究椭圆积分,却成果有限。Abel 则考虑以研究此不定积分的反函数──称为椭圆函数──来重新定位整个研究路径。 而且他意识到如果将积分推广到复数域,则椭圆函数都是双周期函数, 这些崭新的想法后来又被 Abel 自己推广到超椭圆函数与 Abel 积分,为黎曼从事多值函数与黎曼面奠下重要的基础, 正是 Abel 提出了后来黎曼面所谓亏格 (genus) 的观念。

    法国数学家 Hermite 曾盛赞 Abel「我无法离开椭圆的领域」,「Abel 留下的观念可以让数学家忙上150年」。 事实上 Hermite 利用椭圆函数解决了五次方程式公式解的问题。

    更新:20180617 105414     


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