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    抛物线方程及图像

    发布时间:2020-11-26 16:05:53 作者:冬青好 

    标准形式的抛物线方程

    原点顶点: 

    y 2   = 4ax(向右打开,a> 0)

    y 2   = -4ax(向右打开,a> 0)

    x 2   = 4ay(打开,a> 0)

    x 2   = -4ay(打开,a> 0)

    在(h,k)处的顶点: 

    (y-k)2   = 4a(x-h)(向右打开,a> 0)

    (y-k)2   = -4a(x-h)(向右打开,a> 0)

    (x-h)2   = 4a(y-k)(打开,a> 0)

    (x-h)2   = -4a(y-k)(打开,a> 0)

    顶点形式的抛物线方程

    原点顶点: 

    y =轴2  (打开,a> 0)

    y = -ax 2  (打开,a> 0)

    x = ay 2  (向右打开,a> 0)

    x = -ay 2  (向左打开,a> 0)

    在(h,k)处的顶点: 

    y = a(x-h)2  + k(打开,a> 0)

    y = -a(x-h)2  + k(打开,a> 0)

    x = a(y-k)2  + h(向右打开,a> 0)

    y = -a(y-k)2  + h(向左打开,a> 0)

    截距形式的抛物线方程

    y = a(x-p)(x-q)(打开,a> 0)

    y = -a(x-p)(x-q)(打开,a> 0)

    x = a(y-p)(y-q)(向右打开,a> 0)

    x = -a(y-p)(y-q)(向左打开,a> 0)

    一般形式的抛物线方程

    y =轴2  + bx + c(打开,a> 0)

    y = -ax 2  + bx + c(打开,a> 0)

    x = ay 2  + by + c(向右打开,a> 0)

    x = -ay 2  + by + c(向左打开,a> 0)

    解决的问题

    问题1: 

    找到抛物线的标准形式方程,该方程的原点为顶点,焦点为(0,1)。

    解决方案: 

    在xy平面上绘制顶点(0,0)并聚焦(0,1)。

    20201126160322.png

    抛物线的起点是顶点。 

    以原点顶点打开的抛物线的标准形式方程式:

    x 2   = 4ay

    顶点与焦点之间的距离为1个单位。 

    即a = 1。 

    x 2   = 4(1)y

    x 2   = 4y

    问题2: 

    求出抛物线的标准形式方程,其顶点位于(2,-1),焦点位于(-1,-1)。

    解决方案: 

    在xy平面上绘制顶点(0,0)并聚焦(0,1)。

    20201126160401.png

    抛物线在(2,-1)处向左敞开。

    在(h,k)处向左敞开的抛物线的标准方程式: 

    (y-k)2   = -4a(x-h)

    顶点(h,k)=(2,-1)。

    (y + 1)2   = -4a(x-2)

    顶点与焦点之间的距离为3个单位。 

    即a = 3。 

    (y + 1)2   = -4(3)(x-2)

    (y + 1)2   = -12(x-2)

    问题3: 

    找到抛物线的顶点形式方程:

    向左或向右打开,顶点(0,0),通过(-16,2)

    解决方案: 

    抛物线的顶点形式方程,在原点处向左或向右打开顶点: 

    x = ay 2

    它通过(-16,2)。替换(x,y)=(-16,2)。 

    -16 = a(2)2

    -16 = a(4)

    将每一边除以4。

    -4 = a

    抛物线的顶点形式方程: 

    x = -4y 2

    问题4:

    找到抛物线的顶点形式方程:

    向左或向右打开,顶点(-1,-2),通过(11,0)

    解决方案: 

    抛物线的顶点形式方程,其顶点在(h,k)处向左或向右打开: 

    x = a(y-k)2  + h

    顶点(h,k)=(-1,-2)

    X = A(Y + 2)2  - 1

    它通过(11,0)。替换(x,y)=(11,0)。 

    11 = A(0 + 2)2  - 1

    11 = A(2)2  - 1

    11 = 4a-1

    每边加1。 

    12 = 4a

    将每一边除以4。

    3 =一个

    抛物线的顶点形式方程:

    X = 3(Y + 2)2  - 1

    问题5: 

    写出如下所示的抛物线的截距形式方程。

    20201126160444.png

    解决方案: 

    上述抛物线的截距形式方程:

    y = a(x-p)(x-q)

    因为x截距是(-1,0)和(2,0), 

    x = -1 -----> x + 1 = 0

    x = 2 -----> x-2 = 0

    然后, 

    y = a(x +1)(x-2)

    它通过(0,-4)。替换(x,y)=(0,-4)。 

    -4 = a(0 +1)(0-2)

    -4 = a(1)(-2)

    -4 = -2a

    将每一边除以-2。

    2 =一个

    抛物线的截距形式方程:

    y = 2(x +1)(x-2)

    问题6: 

    找出一般形式的抛物线方程:

    向上或向下打开,顶点(3,1),通过(1,9)

    解决方案: 

    首先,找到顶点形式的抛物线方程,然后将其转换为一般形式。 

    抛物线的顶点形式方程,其顶点在(h,k)处打开或向下:

    y = a(x-h)2  + k

    顶点(h,k)=(3,1)。

    y = a(x-3)2  +1

    它通过(1,9)。替换(x,y)=(1,9)。 

    9 = a(1-3)2  +1

    9 = a(-2)2  +1

    9 = 4a +1

    每边减去1。 

    8 = 4a

    将每一边除以4。

    2 =一个

    抛物线的顶点形式方程: 

    y = 2(x-3)2  +1

    将上述顶点形式方程转换为一般形式。 

    y = 2 [x 2-2(x)(3)+ 3 2 ]  + 1

    Y = 2(X 2  - 6X + 9)+ 1

    分发。 

    Y = 2× 2  - 12倍+ 18 + 1

    Y = 2× 2  - 12倍+ 19

    问题7: 

    用顶点形式写出抛物线的以下一般形式方程。

    Y = 3× 2  - 18倍+ 29

    解决方案: 

    Y = 3× 2  - 18倍+ 29

    Y = 3(X 2  - 6×)+ 29

    Y = 3 [X 2  - 2(X)(3)+ 3 2 - 3 2 ] + 29

    Y = 3 [(X - 3)29 ] + 29 

    Y = 3(X - 3)2  - 27 + 29

    y = 3(x-​​3)2  + 2

    更新:20210117 204505     


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