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    圆的方程的各种形式

    发布时间:2020-11-26 16:02:19 作者:冬青好 

      圆形方程有两种。他们是

      1.圆的标准方程

      2.圆的一般方程

      圆的标准方程

      如果我们知道圆的半径和中心的坐标,就可以在坐标平面上写一个圆的方程。假设圆的半径为r,中心为(h,k),令(x,y)为圆上的任意点。(x,y)与(h,k)之间的距离为r。

    20201126155403.png

      因此,我们可以使用距离公式。

    20201126155450.png

      将两边平方,以找到半径为r且中心为(h,k)的圆的标准方程式。

    20201126155712.png

      如果中心是原点,则(h,k)=(0,0)因此,标准方程为

    x 2  + y 2   = r 2

      圆的一般方程

      下面给出的方程是圆方程的一般形式。

    x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

    中心=(-g,-f)

    半径=   √[g 2  + f 2  -c]

      编写圆的标准方程

      例1: 写出圆的标准方程,其圆心为(-4,0),半径为7。

      解决方案: 

      圆的标准方程。 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

      塞(h,k)=(-4,0)和r = 7。

    [x-(-4)2 ] +(y-0)2   = 7 2

      简化。 

    (x + 4)2 + y 2   = 49

      例2: 

      写出一般方程为的圆的标准方程

    X 2  + Y  - 4X + 6Y - 12 = 0

      解决方案: 

      为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 

      让我们从给定的圆的一般方程式中找到中心和半径。 

      比较中 

    x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

    X 2  + Y 2 - 4X + 6Y - 12 = 0,

      我们有 

    2g =-4 -----> g = -2

    2f = 6  -----> f = 3

    c = -12

    中心=(-g,-f)=(2,-3)

    半径=√[g 2  + f 2  -c]

    半径=√[(-2)2  + 3 2  -(-12)]

    半径=   √[4  + 9  + 12]

    半径=√25

    半径= 5

      圆的标准方程: 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

      塞(h,k)=(2,-3)且r = 5。

    (x-2)2  + [y-(-3)2 ] = 5 2

      简化。 

    (x-2)2  +(y + 3)2   = 25

      例3: 

      点(1,2)在以(5,-1)为中心的圆上。写出圆的标准方程。

      解决方案: 

      为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 中心已经给出,我们需要找到半径。

      使用距离公式,我们有

    半径=   √[(5 - 1)2 +( - 1 - 2)2 ]

    半径=√[4 2  +(-3)2 ]

    半径=√[16 + 9]

    半径=√25

    半径= 5

      圆的标准方程: 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

      塞(h,k)=(5,-1)且r = 5。

    (x-5)2  + [y-(-1)2 ] = 5 2

      简化。 

    (x-5)2  +(y + 1)2   = 25

      画圆

      如果我们知道圆的方程,则可以通过标识圆的中心和半径来绘制圆的图形。 

      例: 圆的方程是 

    (x + 2)2  +(y-3)2   = 9

      画出圆圈。 

     解决方案:

      要绘制圆图,我们需要知道圆的半径和中心。

      重写方程式以找到中心和半径。 

    (x + 2)2  +(y-3)2   = 9

    [x-(-2)2 ] +(y-3)2   = 3 2

      因此,中心为(-2,3),半径为3。 

      要绘制圆图,请将指南针的点放在(-2,3),将半径设置为3个单位,然后旋转指南针以绘制一个完整的圆。

    20201126160013.png

      应用圆图

      例:

      在舞台上布置了一排灯。每盏灯照亮舞台上的圆形区域。使用坐标平面以舞台的角点为原点来布置灯光。方程  (x-13)2  +(y-4)2   = 16表示光碟之一。 

    (1)绘制光碟图。 

    (2)三个演员的位置如下: 

    亨利在(11,4)

    乔琳(8,5)

    马丁(15,5)

      光碟里有哪些演员? 

      解决方案: 

      解决方案(1): 

      要绘制光碟图,我们需要知道圆的中心和半径,重写方程式以找到中心和半径。 

    (x-13)2  +(y-4)2   = 16

    (x-13)2  +(y-4)2   = 4 2

      因此,中心为(13,4),半径为4,圆心为(13,4),半径为4的圆,如下所示(光碟图)。

    20201126160128.png

      解决方案(2): 上图显示亨利和马丁都在光碟中。

    更新:20210117 204505     


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