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    函数是什么?

    发布时间:2020-11-21 15:36:26 作者:冬青好 

      函数显示输入与输出的关系,就好像有输入和输出的机器,输出和输入是有关联的。

    20201121150421.png

     f(x)  

    "f(x) = ... " 是一贯的标准函数记法。
    但是也有其他的方法去描述函数。

      输入、关系、输出,有很多方法去描述函数,但所有方法都有这三个主要部分:输入,关系,输出,

      例子:"乘以 2" 是个非常简单的函数,三个部分是:

    输入 关系 输出
    0 × 2 0
    1 × 2 2
    7 × 2 14
    10 × 2 20
    …… …… ……

      如果输入是 50,输出是多少?

      函数例子

      x2(平方)是个函数,

      x3+1也是个函数,

      正弦、余弦和正切是三角学里的函数,还有很多!

      这里我们不谈个别函数,我们来看函数的一般概念

      名字首先,函数要有个名字最常见的名称是 "f",但也可以用其他名字,例如 "g" …… 或甚至 "果酱"。这里我们用 "f":

    20201121150836.png

    我们说 "f x 等于 x 平方"

      我们把函数的输入值放在函数名字后面的括号()中间:所以 f(x) 的意思是函数叫 "f",而 "x" 是输入值,

      函数对输入值进行的运作:f(x) = x2 显示函数 "f" 取输入值 "x" 的平方。

      例子:f(x) = x2:输入是 4  输出就是 16.  我们这样写: f(4) = 16。

      "x" 只是个位置标志符!"x" 只不过显示表输入值,其实用什么符号来代表都可以!

      所以这个函数:f(x) = 1 - x + x2

      和这些函数是一样的:f(q) = 1 - q + q2      h(A) = 1 - A + A2    w(θ) = 1 - θ + θ2

      自变量(x、q、A等)只不过显示我们需要把输入值放在哪里:f(2) = 1 - 2 + 22 = 3

      函数有时没有名字,有时候函数没有名字,例如:y = x2

      但仍然有:输入(x)关系(取平方)输出(y)

      关系,上面我们说函数像个机器。但函数没有齿轮或传动带,也不会破坏输入!函数显示输入与输出的关系。

      "f(4) = 16" 就是说 4 和 16 是有关系的:4 → 16,而这个关系就是 f。

      例子:这棵树每年长高 20厘米,所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示:

    20201121151454.png

    h(年龄) = 年龄 × 20

      所以,如果年龄是 10年,高度就是:h(10) = 10 × 20 = 200厘米,

      以下是这个函数的一些数值:

    年龄 h(年龄) = age × 20
    0 0
    1 20
    3.2 64
    15 300
    …… ……

      函数处理什么?最常见的是 "数字",但是 什么数字?

      例如,在树的高度函数 h(年龄) = 年龄×20 里,负值的年龄是毫无意义的。

      函数的输入也可以是字母("A"→"B"),或身份代码("A6309"→"及格"),或其他特别的东西。

      所以我们要用一个比较强大的综合工具来显示函数,这就是集合

    一些整数
    一些实数

    这是一些例子:

    偶数集:{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
    衣服集:{"帽子","衬衫",...}
    质数集:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
    小于十的三的倍数:{3, 6, 9}

      集里面的每个东西(例如 "4" 或 "帽子")叫成员或元素,所以,函数输入一个集的元素来输出另一个集的元素。

      函数是特别的,函数有特别的规则:一定要可以使用于所有可能的输入,每一个输入值只有一个关系,

      这些规则可以用一个定义来表达:

    20201121151912.png

      函数的正式定义,函数把一个集里的每一个元素,联系到 另一个集里一个独一的值(可能是同一个集)。

      两个重点!

    一、

    "…… 每一个元素 ……" 的意思是 X 里的所有元素都与 Y 里的某一个元素有关系。

    我们说函数覆盖 X (关系囊括所有元素)。

    (但 Y 里的一些元素可能没有和 X 的元素有关系,这是允许的。)

    二、

    "…… 独一的值 ……" 的意思是函数是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。

    所以 "f(2) = 7  9" 是不行的!

     

    注意:"一对多关系" 是允许的, "多对一关系" 就可以:

    函数   函数
    (一对多)   (多对一)
    允许   允许

      如果一个关系符合这两个规则,它就不是函数 …… 它还是个关系,但不是个函数。

      例子:x → x2

    函数

    可以写成列表:

    X: x Y: x2
    3 9
    1 1
    0 0
    4 16
    -4 16
    …… ……

      这是个函数,因为:X 的每个元素都和 Y 有关系联,X 没有元素有多于一个关系,所以这个关系符合函数的两个规则。(注意 4 和 -4 都和 16 有关系,这是允许的。)

      例子:这个关系不是函数:

    20201121152311.png

      它是个关系,但不是个函数。原因是:
      X 里的 "3" 和 Y 没有关系
      X 里的 "4" 和 Y 没有关系
      X 里的 "5" 和 Y 里多于一个值有关系
    (但 Y 里的 "6" 没有关系是允许的)

      垂直线测试

      在图上,单值的意思就是没有垂直线有多于一个交叉点,如果有多于一个交叉点,图还是曲线,但不是函数。

    20201121152426.png

      有些函数有更严格的规则,去单射、满射与双射了解更多,

      无穷多,上面的例子只有几个数值,但函数通常是建立在有无穷多元素的集合上的。

      例子:y = x3 输入集 "X" 是所有 实数,输出集 "Y" 也是所有实数,

      我们不能显示所有的值,所以以下只是一些例子:

    X: x Y: x3
    -2 -8
    -0.1 -0.001
    0 0
    1.1 1.331
    3 27
    依此类推…… 依此类推……

       定义域、陪域与值域,在上面的例子里

      "X" 集的名称是定义域,
      "Y" 集的名称是 陪域,
      Y 集里与 X 有关系的元素(函数的实际输出值)的名称是值域,你可以去阅读关于定义域、陪域与值域的特定页面来了解更多。

      很多名称!
      函数在数学里已经有很长的历史,也有很多不同的名称和表达方法。
      以下是一些你应该知道的名词:

    20201121152754.png

      例子:z = 2u3:"u" 可以被称为 "自变量""z" 可以被称为 "因变量"(它因着自变量改变)

      例子:f(4) = 16:我们可以叫 "4" 为 "参数"我们可以叫 "16" 为 "函数的值"

      序偶,这是对函数的另一个看法:把函数的输入和输出为一个 "序偶",例如 (4,16),叫序偶,因为输入一定在前面,输出在后面:

      (输入,输出)  像这样:xf(x))例子:(4,16) 的意思是函数的输入是 "4",输出是 "16"
      序偶集,因此,函数可以被定义为序偶的集 :

      例子:{(2,4), (3,5), (7,3)} 是个这样的函数:"2 和 4有关系"、"3 和 5 有关系"、"7 和 3 有关系"。

      也注意:定义域是 {2,3,7} (输入值),值域是 {4,5,3} (输出值),但函数一定要是单值的,所以我们也要说,"若集里有 (a, b) 和 (a, c),则 b 等于 c",

      也即是说 "a" 值的输入不能有多于一个结果。

      例子:{(2,4), (2,5), (7,3)} 不是函数,因为 {2,4} 和 {2,5} 代表 2 与 4 和 5 都有关系,就是说,它不是函数,因为它不是单值的,

      序偶的好处

    20201121153147.png

      我们可以把序偶画成图 ,因为序偶也是坐标!所以坐标的集也是函数(如果它们符合上面的规则)

      函数可以有不同的部分,不同的函数输入值可以有完全不同的关系,

      例子:有两个部分的函数:若 x 小于 0,函数的值是 5,若 x 等于或大于 0,函数的值是 x2,

    20201121153326.png

      以下使一些数值例子:

    x y
    -3 5
    -1 5
    0 0
    2 4
    4 16
    ... ...

      去分段函数了解更多。

      显与隐,最后课题:"显" 与 "隐","显"函数是可以用 y=f(x) 来表示的函数,例如:y = x3 - 3,如果知道 x 就可以求 y,

      这是标准的 y = f(x) 格式,"隐"函数是不用这个格式显示的函数,例如:x2 - 3xy + y3 = 0 已知 x,怎样求 y?

      可能很困难(甚至不可能!)从 x 求 y。"隐" 的意思守系是 ""蔽的。

      画图,函数绘图器只能为显函数画图,方程绘图器可以为显函数及隐函数画图,但要用长一点的时间,并且有时会犯错)。

      结论
      函数显示输入与输出的关系
      函数把一个集(定义域的元素联系到另一个集(陪域)的元素。
      所有的输出值(陪域里实际与定义域有关系的元素)的集叫值域
      特别关系:
      包含定义域里每个元素,
      任何输入值只有一个输出值(不能是一个或另一个输出值)
      一个输入值和它的输出值一起就叫做序偶
      所以函数也可以被视为一个序偶的集

     


     

     

     

     

    更新:20201127 120656     


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