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    反函数定义和反函数公式大全

    发布时间:2020-11-21 14:48:37 作者:冬青好 

      反函数反过来做!先看一个例子:

      我们将函数 f(x) = 2x+3 写成流程图:

    20201121141927.png

    反函数就是把流程反过来:

    20201121142000.png

    所以: 2x+3 的反函数是: (y-3)/2

      反函数通常是在函数名字后面加一个上标 "-1":

    f-1(y)

      我们说 "f y 的反函数"

      所以 f(x) = 2x+3 的反函数是这样写:f-1(y) = (y-3)/2

    (我用 y,而不用 x,因为它们代表不同的值。)

      还原,反函数把函数还原:

    20201121142246.png

    如果函数 f 把苹果变成香蕉,函数 f-1 把香蕉还原为苹果,

      例子:用上面的公式,开始时 x=4 f(4) = 2×4+3 = 11

      然后把 11 代入反函数的公式里:f-1(11) = (11-3)/2 = 4

      得回原来的 4!我们可以写成一行:f-1( f(4) ) = 4

      "f 反函数 的 f 的 4 等于 4"

      所以把一个数值代入一个函数 f,然后把结果代入其反函数 f-1,就会得到原来的数值: f-1( f(x) ) = x

      把函数的次序倒转也是一样:f( f-1(x) ) = x

    例子开始f-1(11) = (11-3)/2 = 4

      然后:f(4) = 2×4+3 = 11

      所以:f( f-1(11) ) = 11


      "f 的  f 反函数的 11 等于 11"

      用代数来解,我们可以用代数来求反函数。用 "y" 代替 "f(x)",然后解 x:

    函数:   f(x) = 2x+3
    用 "y" 代替 "f(x)":   y = 2x+3
    每边减 3:   y-3 = 2x
    每边除 2:   (y-3)/2 = x
    换边:   x = (y-3)/2
             
    结果 (用 "f-1(y)" 来代替 "x"):   f-1(y) = (y-3)/2

      这是计算比较复杂的反函数的好方法。

      把华氏转换为摄氏,一个好例子是华氏与摄氏相互转换:

    将华氏转换为摄氏:   f(F) = (F - 32) × 59
    反函数(将摄氏转换为华氏)是:   f-1(C) = (C × 95) + 32

      轮到你了:解反函数!

      常见函数的反函数
      上面的例子都很简单,因为我们都知道乘法的相反是除法,加法的相反是减法,但其他函数呢?
      这是一个列表:

    20201121143048.png

    (注意:去阅读反正弦、余弦和正切了解更多。)

      小心!留意 "小心!" 列,因为有些反函数只适用于某些数值。

      例子:平方与平方根,取负数的平方,然后取反函数:

    平方:   (-2)2 = 4
    反函数(平方根):   √(4) = 2

      但我们得不到原来的数!结果是 2而不是 -2。我们不小心了!平方函数(在现在情况下)没有反函数,

      但是,我们可以补救!限制定义域(函数的输入)。

     例子:(续)不用负数作为输入,就是说,把定义域限制为 x ≥ 0 就可以有反函数了。

      所以:x2 没有反函数,{x2 | x ≥ 0 }(这是合建构式符号,意思是 "x 平方,满足 x 大于或等于零这个性质")反函数。

      没有反函数?我们来看这个图:
      要有反函数,函数的值必然需要是唯一值。

      如果一个 y值有两个或更多 x值,还原时应该选哪个呢?

    一般函数   单射函数
    一般函数   单射函数
    无没有反函数   有能有反函数
    如果一个 y值有多于一个 x值,还原时应该选哪个呢?   如果每个 x值的 y值是唯一的(没有其它 x值有这个 y值),从 y 还原到 x 就只有一个选择。

      "每个 x值的 y值是唯一的" 这个概念有个名字,叫 "单射",也称 "一对一":

      如果一个函数是"一对一"(单射)的,它就有反函数。

      定义域与值域,我们为什么要 "限制定义域"?

    定义域和值域图

    简单地说,定义域是所有输入函数的值(值域的所有输出值)。

      在现在情况下,上面的函数没有反函数,因为有些 y值有多于一个 x值。

    20201121143728.png

      但我们可以限制定义域,使得每个 y值只有一个唯一的 x值 ……

    20201121143834.png

       这样函数就可以有反函数了:

      注意:函数 f(x) 从定义域映入到值域,反函数 f-1(y) 从值域映入到定义域。

      我们可以把函数和反函数都写成 x 的函数 …… 反函数就写成 f-1(x),而不是 f-1(y)

    定义域和值域

    f(x)  f-1(x) 像彼此的镜像
    (相对于对角线反转)。

      换句话说:f(x) 和 f-1(x) 的图是相对于直线 y=x 对称的,

      例子:平方和平方根(续)

      我们首先把定义域限制为 x ≥ 0:{x2 | x ≥ 0 }"x 的平方,满足 x 大于或等于零的性质"

      {√x | x ≥ 0 } "x 的平方根,满足 x 大于或等于零的性质"

    20201121144315.png

    可以看到它们是彼此的"镜像",相对于对角线 y=x.

      注意:把定义域限制为 x ≤ 0(小于或等于 0),反函数就是 f-1(x) = −√x:{x2 | x ≤ 0 }  {−√x | x ≥ 0 }

    20201121144429.png

    也是反函数.

      不一定有解的!有时不可能解反函数。

      例子:f(x) = x/2 + sin(x)

      我们不能解反函数,因为我们不能解 "x":  y = x/2 + sin(x)   y …… ? = x

      记法备注,我们这样写 f-1(x),但上标 "-1" 不是个指数(次方):

    f-1(x) …… 和 …… f(x)-1 是不同的
    函数 f 的反函数   f(x)-1 = 1/f(x)
    (倒数)

      总括
      f(x) 的反函数是 f-1(y),我们可以把 "流程图" 倒转来求反函数,或者用代数来解反函数:用 "y" 来代替 "f(x)",然后,解 x,我们可能需要限制定义域才能使得函数有反函数,

    更新:20201127 120656     


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