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    正交中心(定义及举例说明)

    发布时间:2020-11-20 21:07:46 作者:冬青好 

    正交中心是三角形的三个高度相交或相交的点。在这里,高度是从三角形的顶点画出的线,并垂直于另一边。因为三角形有三个顶点和三条边,所以有三个高度。还要学习三角形的外心。

    对于不同类型的三角形,例如等腰三角形、等边三角形等边三角形、直角三角形等,正交中心会有所不同。对于等边三角形,质心将是正交中心。但其他三角形的位置不同。正交中心不需要只位于三角形的内部,在钝角三角形的情况下,它位于三角形的外部。

    三角形的正交中心

    三角形的正交中心是从顶点到三角形相反侧的垂线彼此相交的点。

    • 对于锐角三角形,其正心位于三角形内部。
    • 对于钝角三角形,其正心位于三角形外部。
    • 对于直角三角形,正交中心位于直角的顶点上。

    以三角形ABC为例。

    QQ截图20201120205521

    在上图中,您可以看到从顶点A,B和C分别绘制到相对边BC,AC和AB的垂直线AD,BE和CF在单个点O处彼此相交。该点是正交中心△ABC。

    正交中心公式

    正交中心公式用于查找其坐标。让我们考虑一个如上图所示的三角形ABC,其中AD,BE和CF是从顶点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)和C(x 3, y 3)。O是三个海拔高度的交点。

    首先,我们需要通过以下公式计算三角形边的斜率:

    m = y2-y1/x2-x1

    现在,三角形ABC高度的斜率就是直线的垂直斜率。

    线的垂直斜率= -1 /线的斜率= -1 / m

    令AC的斜率由m AC给出因此,

    mAC = y3-y1/x3-x1

    同样,mBC = (y3-y2)/(x3-x2)

    现在,各个高度的斜率是:

    BE的斜率,mBE = -1/mAC

    AD的斜率,mAD = -1/mBC

    现在,在这里我们将使用斜率点形式方程或直线找到与BE和AD一致的直线方程。

    因此,

    mBE = (y-y2)/(x-x2)

    mAD = (y-y1)/(x-x1)

    因此,我们将在此处得到两个易于求解的方程。因此,x和y的值将给出正交中心的坐标。

    正交中心的性质

    正交中心是从三角形的顶点到相对两侧绘制的海拔高度的交点。

    • 对于锐角三角形,它位于三角形内部。
    • 对于钝角三角形,它位于三角形之外。
    • 对于直角三角形,它位于直角的顶点上。
    • 正交中心将高度划分成的部分的乘积对于所有3个垂直方向都是等效的。

    正交中心的构建

    要构造三角形的正交中心,没有特定的公式,但是我们必须获取三角形顶点的坐标。假设我们有一个三角形ABC,我们需要找到它的正交中心。然后执行以下步骤;

    • 我们要做的第一件事是使用斜率公式找到BC边的斜率,即m = y2-y1/x2-x1
    • 线AD的斜率是BC的垂直斜率。
    • 现在,从点A和直线AD的斜率,使用点斜率公式编写直线方程:y2-y1 = m (x2-x1)
    • 再次使用斜率公式找到侧面AC的斜率。
    • AC的垂直斜率是直线BE的斜率。
    • 现在,从直线BE的点B和斜率,使用点斜率公式写直线方程:y-y1 = m (x-x1)
    • 现在,我们有两个直线方程,分别是AD和BE。
    • 延长两条线以找到相交点。
    • AD和BE相遇的点是正交中心。

    QQ截图20201120205533

    注意:如果我们能够找到三角形两侧的斜率,则可以找到正心,也不必找到第三侧的斜率。

    正交中心示例

    题:

    找出顶点为A(-5,3),B(1、7),C(7,-5)的三角形的正交中心。

    解:

    让我们用上一节中给出的步骤解决问题;

    1.侧面AB的斜率= y2-y1/x2-x1 = 7-3/1+5=4/6=⅔

    2. AB的垂直斜率= -3/2

    3.对于点C(7,-5)和CF = -3/2的斜率,CF的方程为y – y1 = m (x – x1)(点斜率形式)

    4.替换上式中的值。

    (y + 5) = -3/2(x – 7)

    2(y + 5) = -3(x – 7)

    2y + 10 = -3x + 21

    3x + 2y = 11 ………………………………….(1)

    5.边BC的斜率= y2-y1/x2-x1 = (-5-7)/(7-1) = -12/6=-2

    6. BC的垂直斜率=½

    7.现在,AD线的方程为y – y1 = m (x – x1)(点斜率形式)

    (y-3) = ½(x+5)

    解决我们得到的方程式

    x-2y = -11…………………………………………(2)

    8.现在,当我们求解方程式1和2时,我们得到x和y值。

    其中x = 0和y = 11/2 = 5.5

    因此(0,5.5)是三角形的正交中心的坐标。

    更新:20201127 120656     


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